中3数学の2学期期末テストに向けた予想問題プリント（無料PDF）を配布します。中3の2学期期末は、中間テストの主役だった関数 y = ax² の応用（放物線と直線・変域・変化の割合・制動距離などの利用）に、三角形の相似の証明・平行線と線分の比・面積比と体積比が加わり、さらに平方根・因数分解・二次方程式の復習まで出題される、1・2学期の内容がまとめて問われるテストです。高校入試の得点源になる単元ばかりで、内申点にも直結します。今回のプリントは全8大問・50分・100点満点で、問題8ページ＋解答・解説10ページ＋採点基準1ページつき。相似の証明の模範解答や、放物線の面積問題の図つき解説、部分点の目安まで載せているので、ご家庭でも学校の先生と同じ基準で丸つけができます。円周角まで範囲に入る学校向けの「差し替え問題」も収録しました。
この記事でできること
- 関数 y = ax²・相似・二次方程式の利用をまとめた期末テスト形式の予想問題と、解答・解説PDFを無料でダウンロードできる
- 大問ごとの出題内容と配点・部分点の目安、目標点に合わせた使い方がわかる
- 変化の割合と a の区別・変域・解の吟味・相似の証明の書き方など、採点のポイントがわかる
- 円周角まで範囲に入る学校では、第8問を「円の性質」に差し替えて使える
- 保護者の方が証明・求め方の答案を家庭でチェックするコツがわかる
中3数学 2学期期末テストの範囲は？関数y=ax²から相似の面積比・体積比まで
中3数学は、2学期の前半で「関数 y = ax²」、後半で「図形と相似」を学ぶ学校がほとんどです。中間テストで関数の基本まで終えている場合、期末テストの範囲は関数 y = ax² の利用 → 相似な図形・三角形の相似条件 → 平行線と線分の比 → 相似な図形の面積比・体積比までが目安になります。進度の速い学校では「円周角の定理」まで入ることもあります。このプリントは、その範囲を次の3つの柱で構成しています。
関数 大問2・4・8（40点）
- 式の決定・変化の割合・変域
- 放物線と直線（交点・直線の式・三角形の面積）
- 面積が等しくなる点の座標（求め方つき）
- 制動距離（y が x の2乗に比例する利用問題）
相似 大問5・6・7（36点）
- 三角形の相似の証明（2組の辺の比とその間の角）
- 平行線と相似の証明（2組の角）・台形の対角線
- 相似比と線分の長さ
- 面積比・体積比、影の長さから木の高さ
復習 大問1・3（24点）
- 平方根の計算・因数分解
- 二次方程式（因数分解・平方根の考え方）
- 二次方程式の利用（花だんの面積）と解の吟味の説明
| 学校の範囲表にある単元名 | 対応する大問 |
|---|---|
| 平方根／多項式・因数分解／二次方程式（復習） | 大問1 |
| 二次方程式の利用 | 大問3 |
| 関数 y = ax²／y = ax² の値の変化（変化の割合・変域） | 大問2 |
| 放物線と直線／いろいろな関数・関数の利用 | 大問4・8 |
| 相似な図形／三角形の相似条件／相似の証明 | 大問5・6 |
| 平行線と線分の比 | 大問6 |
| 相似な図形の面積比・体積比／相似の利用 | 大問5(3)・7 |
| 円周角の定理（範囲に入る学校のみ） | 差し替え用の大問8 |
※中間テストが「二次方程式まで」で、期末の範囲が関数 y = ax² の基本中心になる学校は、中3数学 2学期中間テスト予想問題（二次関数・相似／3タイプ）のほうが範囲に合います。逆に、三平方の定理まで進んでいる学校は、このプリントに中3数学「三平方の定理」練習問題を足してください。学校の範囲表を最優先にしてください。
中3数学 期末テスト予想問題プリント無料ダウンロード【解答・解説つき】
問題PDF（全9ページ）と解答・解説PDF（全11ページ）は別ファイルです。問題用紙は大問1つにつき1ページを使い、計算欄・証明の記述欄・求め方を書く欄を本番のテストと同じように設けています。1〜8ページ目を印刷すれば通常版の完成（9ページ目は円の差し替え問題）。A4・100％（実際のサイズ）で印刷し、時間を50分に計って取り組んでください。
問題プリント（50分・100点）
関数 y = ax²・相似・二次方程式の利用 全8大問（26小問）
- 大問1 基本の計算（12点）：√50 − 2√8、因数分解、二次方程式2問（因数分解・平方根の考え方）
- 大問2 関数 y = ax² の基本（16点）：式の決定、変化の割合、変域（0をまたぐ場合）、y の値から x をすべて求める
- 大問3 二次方程式の利用（12点）：花だんの縦横の長さ。負の解が使えない理由の説明
- 大問4 放物線と直線（16点）：y = ½x² 上の点A・B、直線ABの式、△OABの面積、△PAB＝△OABとなる y 軸上の点P（求め方つき）
- 大問5 三角形の相似（12点）：△ADE∽△ABCの記述証明、DEの長さ、△ADEと四角形DBCEの面積比
- 大問6 平行線と相似の証明（12点）：台形の対角線で△AOB∽△CODの記述証明、OC・BOの長さ
- 大問7 相似比・面積比・体積比（12点）：面積比、体積比、棒の影から木の高さを求める
- 大問8 関数の利用（8点）：制動距離（y = ax²）。時速60kmの制動距離、制動距離24.5mになる速さ（求め方つき）
ほかのページの様子はこちらです。
解答・解説は図つきの求め方・証明の模範解答・採点基準つき
解答・解説PDFは、問題と同じ番号で1問ずつ対応しています。答えだけでなく、「変化の割合は y の増加量÷x の増加量。係数 a とは区別する」「x の変域に0が含まれるかを確認する」「図が平行に見えるだけでは、DE∥BCを証明の根拠にはできない」など、つまずきやすい理由まで一言解説つき。大問4(4)は点Pと補助線をかき込んだ図を1ページ使って説明しています。最後の1ページは大問ごとの配点と部分点の目安で、「2つの解がそろって3点、1つのみなら1点」「面積比4：9まで1点、求める比4：5にさらに2点」のように、学校の採点に近い基準を示しています。
円周角まで範囲に入る学校は「円の差し替え問題」を使う
問題PDFの9ページ目は「円の性質」（各4点・8点）
進度の速い学校では、期末テストの範囲に円周角の定理まで入ることがあります。その場合は、8ページ目（関数の利用）のかわりに9ページ目を印刷して第8問と入れ替えてください。中心角110°に対する円周角、円に内接する四角形の向かい合う角、の2問です。
- 通常版：問題PDFの1〜8ページを印刷（関数・相似・復習）
- 円を含む版：問題PDFの1〜7ページと9ページを印刷
- どちらも100点満点。円を追加して108点満点にはしません（解答・解説PDFの10ページ目に円の解答があります）
出題構成と配点
学校の定期テストと同じように、計算 → 関数の基本 → 二次方程式の利用 → 放物線と直線 → 相似の証明 → 面積比・体積比 → 関数の利用の順に並べています。大問1つが1ページなので、苦手な大問だけを印刷して練習することもできます。
| 大問 | 内容 | 配点 | 部分点の目安 |
|---|---|---|---|
| 1 基本の計算 | √50 − 2√8、x² + x − 12 の因数分解、x² − 5x + 6 = 0、(x − 1)² = 9 | 12点 | 各3点。二次方程式は2つの解がそろって3点、1つのみなら1点 |
| 2 関数 y = ax² の基本 | x = −4 のとき y = −8。式の決定、変化の割合（1→3）、変域（−2 ≦ x ≦ 3）、y = −18 となる x | 16点 | (1)立式2点＋式2点、(3)最小値・最大値各2点、(4)2つの解に各2点 |
| 3 二次方程式の利用 | 横が縦より3m長く面積54m²の花だん。方程式、解、縦横の長さと負の解を使えない理由 | 12点 | (3)縦・横各1点＋理由2点 |
| 4 放物線と直線 | y = ½x² 上のA（x＝−2）・B（x＝4）。座標、直線ABの式、△OABの面積、△PAB＝△OABとなる y 軸上の点P | 16点 | (1)各1点、(2)傾き2点＋式2点、(3)求め方2点＋答え2点、(4)面積とPCの関係2点＋PC＝4の過程2点＋座標2点 |
| 5 三角形の相似 | AD＝4、DB＝2、AE＝6、EC＝3、BC＝9。△ADE∽△ABCの証明、DEの長さ、△ADE：四角形DBCE | 12点 | (1)2組の辺の比3点＋間の角1点＋相似条件と結論2点、(3)4：9まで1点＋4：5で2点 |
| 6 平行線と相似の証明 | AB∥CDの台形、対角線の交点O。△AOB∽△CODの証明、OC、BOの長さ | 12点 | (1)2組の角の等しさと根拠各2点＋相似条件と結論2点、(2)(3)比例式まで各1点 |
| 7 相似比・面積比・体積比 | 相似比3：5の面積（18cm²→？）、体積（54cm³→？）、1.5mの棒の影2m・木の影8mから木の高さ | 12点 | 各4点。正しい面積比・体積比・比例式まで示せた場合は各2点 |
| 8 関数の利用 | 制動距離 y は時速 x kmの2乗に比例（時速40kmで8m）。時速60kmの制動距離、24.5mになる速さ | 8点 | 各4点。立式・計算過程2点＋答え2点 |
| 合計 | 50分・100点満点（円の差し替え版も100点） | 100点 | 正しい別解・同じ意味の表現も正解 |
目標点に合わせて、次のように使い分けるのがおすすめです。
| 目標 | 使い方 |
|---|---|
| まず平均点を超えたい | 大問1・2・3(1)(2)・5(2)・6(2)(3)・7(1)(2)の基本問題（53点分）を、解答を見ずに全問正解できるまで繰り返す。「面積比は2乗・体積比は3乗」「変域は0を含むか」は暗記で確実に取る |
| 80点以上を狙いたい | 大問4(1)〜(3)・7(3)・8の放物線と直線・利用問題を解き直す。放物線上の点は「x 座標を代入」、直線の式は「傾き→切片」、面積は「y 軸で2つに分ける」の型で解く |
| 90点以上を狙いたい | 大問5(1)・6(1)の相似の記述証明を白紙で書き、模範解答と1行ずつ見比べる。大問4(4)「面積が等しくなる点P」、大問3(3)「負の解を使えない理由」まで、根拠の書き漏れをゼロにする |
採点基準からわかる！期末テストの採点ポイント
中3の2学期期末は、「答えが合っているか」より「条件の確認と根拠が書けているか」で点差がつくテストです。関数は変域と解の個数、図形は証明の対応順と相似条件の文言で減点が集中します。採点する側の目線でチェックしておきましょう。
- 変化の割合は「y の増加量÷x の増加量」で求める。係数 a と混同しない
- 大問2(2)で「a = −½ だから変化の割合も −½」と書くのが最も多い誤答です。y = ax² は変化の割合が一定ではないので、x = 1 のとき y = −½、x = 3 のとき y = −9/2 を求めて、(−9/2 − (−½)) ÷ (3 − 1) ＝ −2 の式を書きます。採点基準でも「増加量による式2点＋答え2点」と、式に半分の配点があります。
- 変域は「x = 0 を含むか」を必ず確認する
- 大問2(3)の −2 ≦ x ≦ 3 では、両端を代入した −2 と −9/2 を並べて「−9/2 ≦ y ≦ −2」と答えると×。範囲に x = 0 が含まれるので、a < 0 なら最大値は0です。グラフの形を小さくかいて、頂点（原点）が範囲に入るかを目で確かめる習慣をつけましょう。
- 二次方程式の文章題は「解を求めて終わり」ではなく「条件に合うか」まで書く
- 大問3は x = 6, −9 と解けても、「x は長さを表すので x > 0。よって x = −9 は問題に合わない」と書いて初めて満点です。理由に2点の配点があり、「マイナスだから」だけでは不十分。「長さ（または縦の長さ）は正の数だから」のように、何が負になれないのかまで書きます。
- 「求め方も書きなさい」は、何を底辺・高さにしたかを明示する
- 大問4(3)(4)は、△OABを y 軸（線分OC）で2つに分け、「底辺OC＝4、高さはAの x 座標の絶対値2とBの x 座標4」と書いてから ½×4×2＋½×4×4＝12 とします。(4)は「△PAB＝3PC＝12 → PC＝4 → P(0，8)」の流れで、PC＝4を求める過程に2点があります。P(0，0)は原点Oと重なり y 軸の正の部分にないので除く、という一言も忘れずに。
- 相似の証明は「対応する順に書く・根拠をつける・相似条件は教科書の文言」の3点セット
- 大問5(1)は△ADE∽△ABCの頂点の対応順（A→A、D→B、E→C）をそろえ、AD：AB＝4：6＝2：3、AE：AC＝6：9＝2：3 の2つの比を数値つきで示し、「∠DAE＝∠BACは共通」と根拠を添えて、「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」と結びます。図が平行に見えても、DE∥BCは証明の根拠に使えません。大問6(1)は「対頂角は等しい」「AB∥CDより錯角は等しい」の2つに根拠と角の等しさで各2点。「2組の角がそれぞれ等しい」の文言で締めます。
△AOBと△CODにおいて、
対頂角は等しいので ∠AOB ＝ ∠COD ……①
AB∥CDより、錯角は等しいので ∠ABO ＝ ∠CDO ……②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので △AOB ∽ △COD
※等式1つにつき「根拠（対頂角／平行線の錯角／共通な角／比の計算）」を1つ添える、が証明の基本ルールです。もう1組の錯角 ∠BAO＝∠DCO を使っても正解。相似の証明では、合同と違って「辺の比」を数値で示すのがポイントです。
単元別・差がつくポイント
プリントで重点的に出題している「ミスが出やすいところ」をまとめました。解く前にひととおり確認しておくと、見直しの精度が上がります。
| 単元 | ミスが出やすいポイント | プリントでの出題例 |
|---|---|---|
| 平方根の計算 | √50 = 5√2、√8 = 2√2 と根号の中を簡単にしてからたし引きする。√50 − √16 のような計算はできない | 1(1) 5√2 − 4√2 = √2 |
| 二次方程式（平方根の考え方） | (x − 1)² = 9 で x − 1 = 3 だけにして解を1つ落とす | 1(4) x = −2, 4 |
| 関数の式の決定 | x = −4 の2乗を −16 にする符号ミス。a が分数（−½）でもそのまま答える | 2(1) y = −½x² |
| 変化の割合・変域 | 変化の割合を a と混同、変域で x = 0（最大値0）を見落とす | 2(2) −2、2(3) −9/2 ≦ y ≦ 0 |
| 二次方程式の利用 | 「縦 × 横 ＝ 面積」の立式で横を x − 3 にする。負の解を消す理由を書かない | 3 x(x + 3) = 54 → 縦6m・横9m |
| 放物線と直線 | 直線の式は「傾き＝y の増加量÷x の増加量」→点を代入して切片。面積は y 軸で分けてOCを共通の底辺にする | 4(2) y = x + 4、4(3) 12 |
| 相似の証明 | 辺の比を「4：6」「6：9」のまま並べて「＝2：3」まで書かない。対応する頂点の順がずれる | 5(1) AD：AB＝AE：AC＝2：3 |
| 平行線と線分の比 | 台形の対角線では、AO：CO ＝ AB：CD。対応する頂点（A↔C、B↔D）をそろえて比を立てる。BO：DO＝2：3からBO＝7.5×2/3 | 6(2) OC＝6cm、6(3) BO＝5cm |
| 面積比・体積比 | 相似比3：5をそのまま面積・体積にかける。面積は2乗（9：25）、体積は3乗（27：125） | 7(1) 50cm²、7(2) 250cm³ |
| 関数の利用 | 「速さが1.5倍なら距離も1.5倍」と比例で考えてしまう。y = ax² なので(3/2)²＝9/4倍。x² = 4900 の解は速さなので正の70だけ | 8(1) 18m、8(2) 時速70km |
中3数学の期末テストはどう勉強する？2週間前からの3ステップ
中3の2学期期末は、受験勉強と並行して準備する時期です。ただし関数 y = ax² と相似は公立高校入試の大問でそのまま出る単元なので、期末対策がそのまま入試対策になります。関数と図形という性質の違う2つの単元を、次の3ステップで効率よく固めていきましょう。
- STEP1（2週間前） 関数は「式の決定 → 変化の割合 → 変域」を毎日1セット
①1点の座標から a を決める、②2つの x の値から変化の割合を求める（a(p + q) の公式でも検算）、③0をまたぐ変域、の3パターンを毎日1セット。放物線と直線は「x 座標を代入して点を出す → 傾き → 切片 → 面積は y 軸で分ける」と手順を口に出して言えるようにします。関数の基本が不安な人は中3数学 2学期中間テスト予想問題（二次関数中心編）から解き直すのが近道です。 - STEP2（10日〜1週間前） 図形は「相似条件3つ」と「証明の型」を書いて覚える
相似条件3つ（3組の辺の比／2組の辺の比とその間の角／2組の角）を教科書の文言どおりに書けるようにし、証明は「〜において／…より（根拠）／①②より○○がそれぞれ等しいので∽」の型を、教科書の例題を写しながら体に入れます。写すときは、1行ごとに「この行の根拠は何か」を声に出すのがコツ。面積比・体積比は「相似比を2乗・3乗」を、影の問題は「相似な直角三角形をかく」を、図に印をつけながら解きましょう。 - STEP3（3日前） 予想問題を50分で解き、採点基準で自己採点
このプリントを本番と同じ50分で解き、解答・解説PDFの採点基準で部分点まで自己採点します。証明は模範解答と1行ずつ見比べて、抜けた根拠や「＝2：3」の計算を赤で書き足しましょう。間違えた大問の単元を単元別プリントで集中的に練習し、前日は間違えた問題だけを白紙で解き直せば仕上げは完了です。円周角まで範囲の人は、差し替え問題も忘れずに。
仕上げの段階では、次の「4つの意識」をチェックしながら解いてみてください。
- 「求め方も書きなさい」は配点の半分が過程 …… 変化の割合の式、底辺と高さ、a を求める代入式など、答えの前に1行書く
- 「すべて求めなさい」「変域」は2つの値を疑う …… 二次方程式の解は2つ、y = −18 になる x は ±6、変域は0を含むか
- 等式・比には根拠をセットで …… 「対頂角は等しいので」「AB∥CDより錯角は等しいので」「AD：AB＝4：6＝2：3」
- 答えの形を最後に確認する …… 単位（cm²、cm³、m、時速◯km）、根号は最も簡単な形か、比は最も簡単な整数の比か、負の解を消したか
保護者の方へ：ご家庭での使い方のコツ
- 問題PDFと解答・解説PDFは別ファイルです。問題の1〜8ページだけを先に印刷してお子さんに渡し、解答は保護者の方が手元に置いておくと、答えを見ずに取り組めます。学校の範囲表に「円周角」があれば、8ページ目のかわりに9ページ目を印刷してください。
- 解答・解説PDFの最終ページ「採点基準」を使えば、数学が専門でなくても部分点まで採点できます。「求め方の式が書いてあるか」「証明に根拠と相似条件の文言があるか」の2点を見るだけで、答案チェックは十分です。
- 証明の答案は、模範解答と行数を比べるのがおすすめ。お子さんの答案が模範解答より2〜3行短ければ、根拠や「＝2：3」の計算が抜けているサインです。
- 点数よりも、間違えた大問が「関数」か「相似」か「復習（計算・二次方程式）」かを一緒に確認してください。関数なら式の決定と変域の解き直し、相似なら相似条件の暗記と証明の書き写し、復習なら平方根・因数分解の計算練習、と次にやることがはっきりします。中3は内申点が確定する大事な時期なので、期末の1点が入試の持ち点になります。
よくある質問
- テスト範囲に「円周角の定理」まで入っています。使えますか？
- はい。問題PDFの9ページ目「円の性質」（8点）を、8ページ目「関数の利用」のかわりに印刷して第8問と入れ替えてください。円周角と中心角、円に内接する四角形の2問で、合計は変わらず100点満点です。円の問題数をもっと増やしたい場合は、中3数学「円」練習問題もあわせて使ってください。
- 面積比・体積比がまだ範囲に入っていません。使えますか？
- はい。大問5(3)と大問7(1)(2)（合わせて11点分）を除いて採点してください。大問1つが1ページなので、7ページ目を印刷せずに大問7(3)の「影の長さ」だけ口頭で出題する、という使い方もできます。逆に、中点連結定理や相似の利用まで進んでいる学校は、中3数学「中点連結定理」学習プリントを足しておくと安心です。
- 解答はついていますか？
- はい。解答・解説PDF（全11ページ）があり、すべての問題に答えと解き方の説明がついています。放物線の面積問題は図つき、証明は模範解答、円の差し替え問題の解答は10ページ目、最終ページには大問ごとの配点と部分点の目安を載せています。
- 中間テスト用の予想問題との違いは？
- 中3数学 2学期中間テスト予想問題は、二次方程式〜関数の基本〜相似の基本を範囲別に3タイプ（各25問）に分けたものです。この期末版は関数の応用（放物線と直線・利用）と相似の証明・面積比・体積比を中心にした1本構成で、記述の配点を高めにしています。中間で点を落とした人は、中間版のタイプA・Cを解き直してからこの期末版に進むと効果的です。
- 印刷するときの注意はありますか？
- A4縦のPDFです。放物線のグラフや図形が正しい大きさになるよう、A4・100％（実際のサイズ）で印刷してください。証明の記述欄はページの半分近くを使っているので、縮小印刷は避けたほうが書きやすいです。スマホに保存すれば、コンビニのマルチコピー機からも印刷できます。
単元別の無料プリントでニガテを補強
予想問題で間違いが多かった単元は、単元別プリントに戻って集中的に練習しましょう。
平方根・因数分解・二次方程式の復習に
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- 中3数学「根号を含むいろいろな式の計算」学習プリント
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- 中3数学「因数分解による2次方程式の解き方」学習プリント
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- 中3数学「2次方程式の利用」学習プリント
- 中3数学「2次方程式」練習問題（解の公式・利用）
関数 y = ax² の復習に
- 中3数学「関数 y=ax²」学習プリント
- 中3数学「関数 y=ax² のグラフ」学習プリント
- 中3数学「関数 y=ax² の変化の割合」学習プリント
- 中3数学「関数の利用(1)」学習プリント
- 中3数学「関数の利用(2)」学習プリント
- 中3数学「関数の利用(3)」学習プリント（放物線と直線）
- 中3数学「関数 y=ax²」練習問題（放物線・変化の割合）
相似・円の復習に
- 中3数学「図形の拡大・縮小と相似」学習プリント
- 中3数学「三角形の相似条件」学習プリント
- 中3数学「平行線と線分の比」学習プリント
- 中3数学「中点連結定理」学習プリント（範囲が先に進んでいる人向け）
- 中3数学「相似な図形の面積」学習プリント
- 中3数学「相似な図形の表面積と体積」学習プリント
- 中3数学「相似な図形の利用」学習プリント（影の長さ・縮図）
- 中3数学「相似な図形」練習問題（相似条件・線分比）
- 中3数学「円周角の定理」学習プリント（差し替え問題の対策に）
- 中3数学「円」練習問題（円周角の定理）
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まとめ
中3数学の2学期期末テストは、関数 y = ax² の「変化の割合は増加量で・変域は0を含むか・面積は y 軸で分ける」の型と、相似の「対応順・辺の比を数値で・相似条件の文言」が得点の分かれ目です。答えだけ合っていても、求め方や根拠が抜けると半分しか点にならないのがこのテスト。予想問題を50分で解いて、採点基準で部分点まで自己採点 → 間違えた単元を単元別プリントで補強——この流れで仕上げていきましょう。ここで固めた関数と相似は、そのまま入試の得点源になります。
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