「円周角は中心角の半分と覚えたのに、図が複雑になるとわからない」「三平方の定理で、たすのかひくのか迷う」。中学3年生の冬の図形学習では、公式を使う前に、弧・角・直角・斜辺を正しく見つけることが大切です。

この記事では、中学3年生・12月の数学の家庭学習に向けて、円周角の定理とその逆、円を使った証明、三平方の定理の基本を整理します。実物画像で選べる無料プリント4選、つまずき別の教え方、4週間・冬休みの学習例、解説付き確認問題8問をまとめました。

中3・12月の数学は何を復習する？

最初に学校のノート・ワーク・テストの間違いを見て、習った範囲を確認します。図形は「公式を忘れた」のか「図のどこに公式を使うかわからない」のかで、戻る場所が変わります。答えを出すだけでなく、使った性質を一言で説明できることを目標にしましょう。

相似の対応順や比に不安がある場合は、先に中3・11月の数学｜相似・線分比・面積比・体積比で確認してください。

円周角の定理は「どの弧に対する角か」から考える

中心角と円周角は、頂点の位置が違う

円の中心をOとします。中心角はOを頂点とする角、円周角は円周上の点を頂点とする角です。円周角∠APBが見込む弧は、Pを含まないほうの弧ABです。AとBを結ぶ弧は2つあるため、両端だけでなく、どちらの弧かを確認します。

図の中にある中心角を何でも半分にしてよいわけではありません。例えば、円周角が見込む大きいほうの弧に対する中心角が240°なら、円周角は120°です。図に小さいほうの中心角120°が書かれていれば、360−120＝240と考えてから半分にします。

直径が出たら、円周上の頂点に90°を入れる

ABが直径で、PがA・B以外の円周上にあるなら、∠APB＝90°です。ABが直径だと示されていることが条件です。線分が中心を通っていそうに見える、水平に描かれている、といった見た目だけでは判断しません。

保護者の方は「90°になるのはどの角？」「その理由になる直径はどこ？」と確認すると、公式と図が結びついているかがわかります。

同じ円では、等しい弧に対する円周角も等しい

同じ円で弧ABと弧CDの長さが等しければ、それぞれの弧に対する円周角は等しくなります。また、同じ円では円周角の大きさの比と、対応する弧の長さの比が一致します。円周角が20°と50°なら、見込む弧の長さの比は2：5です。

弧の長さの比を、そのまま弦の長さの比にしてはいけません。弧は円周の一部分、弦は円周上の2点を結ぶ線分です。半径が異なる円どうしでも、角の比だけで弧の長さの比を決めることはできません。

円周角の定理の逆は「同じ円周上」を示すときに使う

円周角の定理では、4点が同じ円周上にあることを利用して角の等しさを導きます。逆では、角の等しさを利用して4点が同じ円周上にあると判断します。

確認するのは、同じ線分ABを見込む角か／PとQが直線ABの同じ側か／角が等しいかの3点です。「図のどこかの角が2つ等しい」だけでは不十分です。円を描いていない問題で、最初から円周角の定理を使うと、まだ示していない結論を前提にしてしまいます。

円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°

円周上にA、B、C、Dがこの順に並ぶ四角形ABCDでは、∠DAB＋∠BCD＝180°です。2つの円周角が見込む弧を合わせると円周全体になり、それに対応する中心角の合計360°の半分になるからです。∠DAB＝108°なら、向かい合う∠BCD＝72°です。

足すのは隣り合う角ではなく向かい合う角です。また、円に内接している条件が必要です。角の位置を指で確認してから180°から引きましょう。

円周角を使う証明は「等しい角の理由」を書く

円の証明では、同じ弧に対する円周角や対頂角から角の等しさを見つけ、合同条件・相似条件へつなげます。等しい角が2組そろえば三角形の相似は示せますが、それだけで合同とはいえません。

1. 証明する2つの三角形と、対応する頂点を確認する。
2. 問題文の仮定を図に書き込む。
3. 等しい角を見つけ、「弧BCに対する円周角」など根拠を添える。
4. 使う合同条件・相似条件を述べ、対応順をそろえて結論を書く。

理由を「円周角だから」だけで終わらせず、どの弧に対する円周角かまで書くと取り違えを防げます。対頂角は、どちらも交点Eを頂点とする角になっているか確認してください。

三平方の定理は「直角と斜辺」を決めてから式にする

三平方の定理は、直角三角形の3辺の長さの関係です。直角をはさむ2辺をa、b、斜辺をcとすると、a²＋b²＝c²となります。斜辺は直角の向かいにある辺で、3辺の中で最も長い辺です。教材によって斜辺をaとする場合もあるため、文字の名前より辺の位置を確認しましょう。

「求めたい辺をxにしたら、いつもx²＝ほかの2辺の2乗の和」と覚えると誤ります。先に斜辺の2乗＝ほかの2辺の2乗の和と書き、必要に応じて移項します。x²＝144から方程式の解は±12ですが、辺の長さは正なので12を選びます。

三平方の定理の逆：一番長い辺を確認する

三角形の最も長い辺がcで、a²＋b²＝c²なら、その三角形はcを斜辺とする直角三角形です。辺の長さが5、12、13なら25＋144＝169なので直角三角形。4、5、6では16＋25≠36なので直角三角形ではありません。

直角の印や、垂直・直径に対する円周角などの根拠がない三角形に、いきなり三平方の定理を使わないことが大切です。辺の長さから直角かを判断するときは「三平方の定理の逆」を使います。

長方形・円・空間図形でも、まず直角三角形を取り出す

縦6cm、横8cmの長方形の対角線は、長方形を2つの直角三角形に分けて考えると10cmです。円では「直径に対する円周角は90°」を根拠に、三平方へつなげられる場合があります。

正方形の対角線は1辺の√2倍、30°・60°・90°の直角三角形の辺の比は、短い辺：長い辺：斜辺＝1：√3：2です。これらや空間図形の計量は、学校で習ってから取り組みましょう。12月はまず、直角三角形1つの式を自分で立てられることを優先します。

実物画像で選ぶ中3・12月の無料数学プリント4選

下の画像は、実際の問題PDFから作成しています。画像をクリックするとその問題PDFが開きます。説明文と「プリント・解答一覧へ」ボタンからは教材ページへ進めます。4枚すべてを一度に解く必要はありません。

1｜円周角の基本

円周角の定理（1）

中心角と円周角、同じ弧に対する円周角、直径に対する円周角を3問で確認します。

使い方：角の頂点と、対応する弧を指でたどってから計算します。答えの横に「中心角の半分」「同じ弧」「直径」の理由を添えましょう。

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2｜等しい弧と角度

円周角の定理（2）

等しい弧に対する円周角と、中心角との関係を組み合わせる3問です。

使い方：弧は曲線、弦は線分です。等しいと指定された弧に同じ印を付け、求める角が見込む弧と対応させます。

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3｜定理の逆・条件整理

円周角の定理の逆（1）

与えられた5組の条件から、4点が同じ円周上にあるものを選びます。

使い方：Eは対角線ACとBDの交点です。図を測らず、三角形の内角の和と、同じ線分を見込む角の等しさで判断します。

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4｜三平方の基本・既習者向け

直角三角形の辺の長さ（1）

三平方の定理で辺の長さを求める6問。整数で答える問題と、平方根を使う問題があります。

使い方：最初に直角と斜辺へ印を付けます。例題の±から正の値を選ぶのは長さだからです。三平方が未習なら、このカードは後回しにしてください。

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つまずき別の勉強法と家庭での声かけ

答えが違うときは、正しい式をすぐ教える前に「どこまでわかった？」と聞いてみてください。図への印が正しければ計算の練習、印が付けられなければ性質の確認、というように練習を絞れます。正解した問題も理由を一言説明してもらうと、偶然の正解を見分けやすくなります。

中3・12月の4週間と冬休みの家庭学習例

1回15〜20分程度を目安に、短い確認と解き直しを組み合わせます。受験勉強や学校の課題がある場合は、それらの間違いをこの記事の単元別復習に戻して使ってください。

三平方が未習なら、第3週のカード4と確認問題6〜8は後回しにして、相似の証明や比の問題に置き換えます。円周角が未習なら、学校で終えた相似・関数・計算を優先してください。すでに三平方の応用まで習っている場合は、基本を確認してから学校の平面図形・空間図形の課題へ進みましょう。

冬休みは「図形だけ」に偏らない

例えば、5分で平方根・因数分解の計算、10分で円や三平方の問題、5分で間違いの説明、という組み合わせにします。関数や2次方程式に弱点があれば別の日に取り入れます。新しいプリントを増やすより、一度間違えた問題を、根拠を書いて解けるかを確かめる時間を取りましょう。

中3・12月の数学｜確認問題8問

問題1〜5は円、問題6〜8は三平方の定理です。学校で習った範囲から取り組んでください。問題1〜3では、条件に合う簡単な図を自分で描くと整理しやすくなります。

解答・解説

1. 62°。同じ弧に対する円周角は中心角の半分なので、124÷2＝62です。
2. ∠APB＝90°、∠PBA＝62°。ABが直径なので∠APB＝90°。三角形の内角の和より、180−90−28＝62です。
3. 73°。円に内接する四角形の向かい合う角の和は180°なので、180−107＝73です。
4. いえる。円周角の定理の逆。PとQが直線ABの同じ側にあり、同じ線分ABを見込む角∠APBと∠AQBが等しいためです。
5. △ABEと△DCEにおいて、∠AEB＝∠DEC（対頂角）、∠BAE＝∠CDE（同じ弧BCに対する円周角）。2組の角がそれぞれ等しいので、△ABE∽△DCEです。ほかの正しい角の組を使った証明でも構いません。
6. 15cm。斜辺をx cmとすると、x²＝9²＋12²＝225。x＞0なので、x＝15です。
7. 8cm。残りの辺をx cmとすると、6²＋x²＝10²。x²＝100−36＝64。x＞0なので、x＝8です。
8. 2√21cm。直径に対する円周角なので∠APB＝90°。斜辺はABです。BPをx cmとすると、4²＋x²＝10²。x²＝84、x＞0よりx＝√84＝2√21です。

1〜3で間違えたら、角が見込む弧や直径の位置を確認します。4〜5は条件と根拠、6〜8は直角と斜辺、平方根の計算を見直しましょう。8が解けなかった場合も、「円から直角を見つけるところ」と「三平方の計算」を分けて練習すると取り組みやすくなります。

あわせて使いたい中3数学の無料教材

• 中3・11月の数学｜相似・線分比・面積比・体積比の復習
• 円周角の定理｜基本から角度計算を練習
• 直角三角形の辺の長さ｜三平方の基本を練習
• 中3数学・2学期期末テスト予想問題｜関数・相似の復習
• 中3数学の無料プリント一覧｜計算・関数・図形の弱点を探す
• 中学生の数学プリント一覧｜学年・単元から選ぶ
• 冬休みの家庭学習プリント一覧｜中学生の教材を探す

よくある質問

12月に三平方の定理をまだ習っていなくても大丈夫？
教科書や学校によって進度は異なります。この記事は全国共通の到達時期を示すものではありません。未習なら円・相似など学校で習った範囲を復習し、三平方のカードや問題は授業後に使ってください。

円周角の問題は、図を測って答えてよい？
図は正確な角度や長さで描かれているとは限りません。問題文の数値・等しい弧・直径などの条件を使い、定理から求めます。作図や実測を指示された問題は、その指示に従ってください。

入試の図形問題にもつながりますか？
弧と角を対応させる、直角三角形を取り出す、証明に根拠を書くといった基本は、複数の単元を組み合わせる問題の土台になります。基本を確かめた後は、志望校の出題形式や学校の指導に合わせて演習を進めてください。