「相似な三角形は見つかるのに、対応する辺を間違える」「部分と全体の長さを混ぜてしまう」「面積も体積も同じ比にしてしまう」。中3の相似では、何と何を比べているのかを、図と式でそろえることが大切です。

この記事では、中学3年生・11月の数学の家庭学習に向けて、三角形の相似条件、平行線と線分の比、中点連結定理、面積比・体積比を解説します。実物画像で選べる無料プリント4選、4週間の学習例、解説付き確認問題8問を使って、授業や定期テストの範囲に合わせて復習しましょう。

中学3年生11月の数学｜相似と比で確認したいこと

まずは「対応する頂点を並べられるか」を確認し、相似条件→線分の比→面積・体積の比の順に進みます。計算が合わないときも、比例式の計算だけでなく、式を立てる前の対応関係まで戻ってみましょう。

相似の意味から復習したい場合は、「図形の拡大・縮小と相似」のプリントから始めてください。テストに関数や二次方程式も入る場合は、中3数学・2学期期末テストの予想問題で、学校の範囲と合う問題を選びます。

実物画像で選ぶ｜中3・11月の無料数学プリント4選

画像を押すと、その問題PDFが開きます。説明文と「プリント・解答一覧へ」ボタンから、解答や別の問題がある教材ページに進めます。画像は実際の問題PDFから作成しています。

① 相似条件と対応

重なった三角形の対応を探す

相似条件3つを確認し、重なった2つの三角形について、相似の記号と使った条件を答えます。

使い方：共通な角と印のある角から、対応する頂点をそろえます。最後に、使った条件を声に出して確認しましょう。

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② 平行線と線分の比

部分・全体をそろえて計算

三角形と線分の比の性質を確認し、平行な線分を使って未知の長さを求めます。全体と部分の読み分けも練習できます。

使い方：点線が示す長さの範囲を確認します。「AB：AD」のように線分名を書いてから、数を代入しましょう。

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③ 相似な図形の面積

面積比と残った部分を求める

相似な三角形の周の長さ、辺の長さ、面積比を学びます。最後は小さい三角形と残りの台形の面積比を求めます。

使い方：面積比は相似比を2乗します。最後の問題は、部分どうしの比から全体との比へ直し、面積の差を考えます。

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④ 表面積比と体積比

2乗・3乗を使い分ける

相似な円柱の例題で面積比・体積比を確認し、立方体の辺の比、表面積比、体積比、表面積を求めます。

使い方：図の4と7は相似比を表す目安です。設問（4）ではAの1辺が2cmという条件から、Bの長さや表面積を計算します。

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①は相似条件と対応順、②は線分の長さ、③は面積、④は立体の比が中心です。③の最後には三角形と台形の面積比が出てきます。まず前半で基本を確かめ、未習の問題は後回しにしましょう。④の図の「4」「7」は、実際の長さではなく相似比の目安として読みます。

三角形の相似条件｜対応する順番と理由をそろえる

相似では「長さが等しい」ではなく「長さの比が等しい」

一方の図形を拡大または縮小すると他方の図形と合同になるとき、2つの図形は相似です。相似な図形では、対応する辺の長さの比がすべて等しく、対応する角の大きさもそれぞれ等しくなります。

△ABC∽△DEFと書いたら、対応する頂点はA↔D、B↔E、C↔Fです。したがって、AB：DE＝BC：EF＝CA：FDとなります。見た目の左右や上下で組み合わせず、記号の順番から対応する辺を探しましょう。

三角形の相似条件3つを、合同条件と区別する

1. 3組の辺の比がすべて等しい。
2. 2組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しい。
3. 2組の角がそれぞれ等しい。

例えば辺が3cm・4cm・5cmの三角形と、6cm・8cm・10cmの三角形は、対応する辺の比がすべて1：2なので相似です。「3組の辺が等しい」は合同の条件です。相似の条件を書くときに「比」を落とさないようにします。

2つ目の条件の「その間の角」も省略できません。ABとACの比を使うなら、間の角は∠BACです。辺2組の比が等しいだけでは、相似とはいえません。また、これらは三角形の相似条件で、一般の四角形にそのまま使うことはできません。

相似の証明は「2つの三角形→等しい角と理由→相似条件」

△ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eをとり、D・Eはそれぞれ辺の内部にあるとします。DE∥BCのとき、△ADEと△ABCが相似であることを説明してみましょう。ノートに図をかき、DEとBCに平行の印をつけてから読みます。

相似がいえたら、AD：AB＝AE：AC＝DE：BCを使えます。相似を証明する問題で、まだ示していない相似関係を使って辺の比を出すと、説明が循環してしまいます。まずは仮定や共通な角、平行線の性質から理由をそろえましょう。

平行線と線分の比｜「部分」と「全体」を混ぜない

同じ図でも、比べる線分によって式が変わる

上の図でAD＝4cm、DB＝2cm、AE＝6cm、DE∥BCとします。ABはADとDBを合わせた6cmです。小さい三角形と大きい三角形の相似比は、AD：AB＝4：6＝2：3となります。

AD：DB＝DE：BCとはできません。左は「部分：残り」、右は「小さい三角形の辺：大きい三角形の辺」で、比較のしかたが違うからです。「4：2」と「4：6」のどちらを使うか、線分名を書いて確かめてください。

比例式a：b＝c：dでは、b・dが0でないときad＝bcになります。たとえば4：6＝6：xなら、4x＝36、x＝9です。計算を急ぐ前に、xがACなのかECなのかを確認することが誤答防止につながります。

中点連結定理は、平行と「半分」をセットで使う

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、その長さは残りの辺の半分です。△ABCでDがABの中点、EがACの中点なら、DE∥BC、DE＝BC÷2となります。

BC＝14cmならDE＝7cm。逆にDE＝7cmとわかれば、BC＝14cmです。ただし、DとEがただ辺上にあるだけでは中点連結定理は使えません。「AD＝DB」「AE＝EC」など、2つの中点である根拠を確認します。

中点の図を見つける練習には、「中点連結定理」の無料プリントも使えます。

面積比・体積比｜長さはそのまま、面積は2乗、体積は3乗

相似な図形・立体の相似比がa：bなら、対応する長さの比はa：b、面積の比はa²：b²、体積の比はa³：b³です。図形や立体が相似であることが前提で、高さだけが2倍の円柱などにそのまま使うことはできません。

面積を求めるときは、先に面積比へ直す

相似な2つの三角形の相似比が小：大＝2：3で、大きい三角形の面積が54cm²なら、面積比は4：9です。小さい三角形の面積は54×4÷9＝24cm²になります。54×2÷3とすると、長さの比を面積に使った誤りです。

反対に、相似な図形の面積比が9：25なら、相似比は3：5です。9：25をそのまま辺の比にせず、正の数の比として平方根を考えます。

台形など「残った部分」は、全体から引く

△ABCの辺AB上にD、辺AC上にEがあり、DE∥BC、AD：AB＝2：3とします。△ADEと△ABCの面積比は4：9なので、残りの台形DBCEに当たる面積の比の値は9−4＝5です。

したがって、△ADE：台形DBCE＝4：5です。4：9は「小さい三角形：全体」の比であり、「小さい三角形：台形」の比ではありません。面積が24cm²と54cm²なら、台形は30cm²となり、24：30＝4：5でも確認できます。

体積は3乗、表面積は2乗

相似な立体A・Bの相似比が2：3なら、体積比は8：27です。Aの体積が40cm³なら、Bの体積は40×27÷8＝135cm³。一方、表面積比は4：9なので、Aの表面積が80cm²ならBは180cm²になります。

「立体の問題だから全部3乗」と考えないことが大切です。立体でも表面積は面積なので2乗です。答えを書く前に、求めるものと単位（cm・cm²・cm³）を見直しましょう。

つまずき別｜家庭での声かけと教え方

保護者がすぐに式を教えるよりも、子どもに線分を指でたどってもらい、図と式の対応を説明してもらうと、迷った場所がわかります。1問を直したら、同じ型の問題を1問だけ自力で解き、説明なしでも進められるか確認しましょう。

中3・11月数学｜4週間の家庭学習例

1回15〜20分、週3〜4回を目安にした例です。プリントは必ずしも1回で1枚終える必要はありません。学校のワークで間違えた内容に近い問題だけ選んでもかまいません。

1回の学習は「確認→演習→直し」で進める

1. 3分：前回間違えた1問や、相似条件を確認する。
2. 8〜10分：プリントから2〜4問を選び、図と式を残して解く。
3. 4〜7分：解答で確認し、誤りを「対応」「比の立式」「計算」「条件・理由」に分けて直す。

翌日以降に、答えを見ずに同じ問題を解き直します。テストが近い場合は、学校の範囲表とワークを先に確認し、出題範囲の問題を優先してください。

確認問題8問｜相似・線分比・面積比・体積比

図が必要な問題は、条件に合う図をノートにかいてから解きましょう。答えだけでなく、対応する線分名や使った条件も残します。まだ習っていない問題は飛ばしてかまいません。

解答・解説

1. 辺EF、DE＝15cm。B↔E、C↔FなのでBCに対応する辺はEFです。AB：DE＝3：5より、DE＝9×5÷3＝15cm。
2. 相似。3組の辺の比がすべて等しい。相似比は2：3。4：6＝6：9＝8：12＝2：3になります。辺の長さそのものは等しくなくても、対応する辺の比がそろえば相似です。
3. 2組の角がそれぞれ等しいから。△ADEと△ABCにおいて、∠DAE＝∠BAC（共通な角）、∠ADE＝∠ABC（DE∥BCより、同位角）。よって△ADE∽△ABCです。
4. AC＝7.5cm、EC＝3cm。AB＝3＋2＝5cm。AD：AB＝AE：ACなので3：5＝4.5：AC、AC＝4.5×5÷3＝7.5cm。EC＝7.5−4.5＝3cmです。
5. DE＝9cm、DE∥BC。三角形の2辺の中点を結ぶ線分なので、中点連結定理よりDE＝18÷2＝9cmで、BCに平行です。
6. 36cm²。面積比は3²：5²＝9：25。小さい三角形の面積は100×9÷25＝36cm²です。
7. 4：5。AD：AB＝2：（2＋1）＝2：3。△ADEと△ABCの面積比は4：9です。台形の部分は全体から小さい三角形を引いた9−4＝5に当たるので、4：5となります。
8. 表面積54cm²、体積27cm³。表面積比は4：9なので24×9÷4＝54cm²。体積比は8：27なので8×27÷8＝27cm³。表面積と体積では、使う比と単位が異なります。

1〜3で迷ったら①、4で迷ったら②、5は中点連結定理、6〜7は③、8は④へ戻りましょう。正解数だけでなく、「どの対応・条件で迷ったか」が次に使う教材を選ぶ手がかりです。

よくある質問｜定期テスト・高校入試につなげるには？

相似条件を覚えているのに証明が書けません

まず、示したい2つの三角形の名前を書き、図からわかる角の等しさや辺の比を抜き出します。それぞれに「仮定」「共通な角」「平行線の同位角」などの理由を添えましょう。最初から長い証明を完成させるより、必要な2組の角を見つける練習から始めると取り組みやすくなります。

図が回転していると、対応がわからなくなります

角の印や等しい角度を手がかりに、対応する頂点を先に決めます。重なった図から2つの三角形だけを別々にかき出す方法も有効です。大きさや向きの見た目だけで、辺を組み合わせないようにしましょう。

面積比が出たら、いつも2乗すればよいですか？

相似比から面積比へ直すときに2乗します。面積比がすでに与えられている場合、さらに2乗してはいけません。また、高さが等しい2つの三角形では面積比は底辺の比に等しくなるため、相似を使う場面か、面積の公式を使う場面かも見分けます。

入試対策は、すぐ難しい総合問題へ進めるべきですか？

まずは学校の範囲で、相似の対応、線分比の立式、証明の理由を安定させます。その後に、複数の三角形が重なった問題や、面積比を組み合わせる問題へ進みましょう。解けなかったときは、補助線の発想だけでなく、基本の対応関係を正しく拾えていたかも確認してください。

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11月の家庭学習では、図に印をつける、線分名をそろえる、求める量を確認する、という小さな手順を繰り返しましょう。授業の進度に合うプリントで、答えと理由の両方を確かめることが、相似を使いこなす土台になります。