「角度は求められるけれど理由が書けない」「三角形の合同条件を混同する」「証明の最初の一文が出てこない」。中2の図形では、答えを出すことに加えて、何を根拠にそういえるのかを説明する力が大切になります。

この記事では、中学2年生・11月の数学の家庭学習に向けて、平行線と角、多角形の内角・外角、三角形の合同、証明の書き方を解説します。実物画像で選べる無料プリント4選、4週間の学習例、解説付き確認問題8問を使って、苦手なところから復習しましょう。

中学2年生11月の数学｜確認したい学習内容

角の性質→合同な図形の対応→合同条件→証明という順に、今の理解を確認します。証明が苦手でも、原因が用語なのか、条件探しなのか、文章の組み立てなのかで戻る場所が変わります。

一次関数がテスト範囲に残っている場合は、図形だけに絞らず、中2数学「1次関数」のプリント一覧から式・グラフ・利用の復習も組み合わせてください。

実物画像で選ぶ｜中2・11月の無料数学プリント4選

画像を押すと、その問題PDFが開きます。説明文と「プリント・解答一覧へ」ボタンから、解答や別の問題がある教材ページへ進めます。画像は実際の問題PDFから作成しています。

① 平行線と角

同位角・錯角と角度の計算

平行線の同位角・錯角の例題と、角度を求める練習です。後半には、平行な補助線や三角形の角の性質を使う問題もあります。

使い方：基本問題から始め、「平行線の同位角」「対頂角」など、角度を求めた理由も口に出してみましょう。

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② 多角形の角

内角・外角を使い分ける

正六角形の内角・外角の例題、外角の和、五角形・六角形・四角形の角度の問題に取り組めます。

使い方：求める角が内角か外角かを先に確認します。外角が与えられたら、隣の内角と合わせて180°になる関係を使います。

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③ 合同な図形

対応する頂点・辺・角を確認

向きの異なる合同な四角形で、対応する頂点・辺・角を探します。合同を表す記号や、角の計算も確認できます。

使い方：設問（1）は頂点Bに対応する頂点を答えます。対応をA↔Eのように並べてから、同じ順番で合同の記号を書きましょう。

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④ 証明の入口

共通な辺を使う証明の穴埋め

対角線で分けた2つの三角形について、仮定と共通な辺を使い、合同から角が等しいことを示す穴埋め問題です。

使い方：例題と練習問題では合同条件が異なります。練習では「3組の辺」を確かめ、最後に対応する角の等しさまで書きます。

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角度の計算は①、多角形の角は②、対応の確認は③、証明の入口は④が目安です。①の後半は補助線や三角形の角も使います。まだ習っていない問題は後回しにし、授業に合うところだけ使いましょう。

平行線と角・多角形の角｜「等しい理由」を添えて解く

同位角・錯角は、平行の条件とセットで確認する

対頂角は、2直線が交わるときの向かい合う角で、大きさが等しくなります。一方、同位角・錯角は角の位置関係の名前です。2直線が平行なら、同位角や錯角が等しくなります。平行という条件がない図で、見た目だけから等しいと決めないようにしましょう。

逆に、同位角または錯角が等しいことから、2直線が平行だと示すこともできます。「平行だから角が等しい」のか「角が等しいから平行」のか、何がわかっていて何を示すのかを先に整理してください。

内角の和と、正多角形の1つの角を区別する

ここでは、へこみのない多角形を考えます。n角形の内角の和は180°×（n−2）です。1つの頂点から対角線を引くと、三角形がn−2個できることと結び付けると覚えやすくなります。

例えば、八角形の内角の和は180°×6＝1080°です。ただし、そこから1080°÷8＝135°として1つの内角を求められるのは、正八角形など、すべての内角が等しい条件があるときです。普通の八角形の1つの内角は、この情報だけでは決まりません。

外角は、各頂点で同じ向きに1つずつ選ぶと、その和は360°になります。正八角形なら1つの外角は360°÷8＝45°、1つの内角は180°−45°＝135°です。「内角と隣の外角の和は180°」もセットで使いましょう。

三角形の合同条件｜「その間」「その両端」を省略しない

図形が回転していたり裏返っていたりしても、ぴったり重ねられれば合同です。合同な図形では、対応する辺の長さと角の大きさがそれぞれ等しくなります。

「2辺と1角」だけでは、角の位置によって合同といえない場合があります。また、3組の角がそれぞれ等しくても、同じ形で大きさの違う三角形が作れるため、合同とは限りません。

対応する頂点を並べてから「≡」を書く

AにD、BにF、CにEが対応するなら、△ABC≡△DFEと書きます。アルファベット順に△DEFと書くのではなく、重なる頂点の順をそろえることが大切です。この場合、辺ABには辺DF、辺BCには辺FEが対応します。

図が複雑なときは、注目する2つの三角形をノートに離して描き、等しいとわかっている辺や角に同じ印を付けてみましょう。証明前の段階では、結論としてこれから示したい辺・角を「すでに等しいもの」に混ぜないようにします。

証明の書き方｜仮定・根拠・結論をつなぐ

仮定は問題で与えられた条件、結論はこれから示すことです。証明では、仮定やすでに学んだ性質から、結論が成り立つ理由を順に説明します。図を測って同じ長さだった、見た目が左右対称だった、というだけでは証明になりません。

1. 仮定と結論を分ける。問題文の「〜のとき」と「〜を証明しなさい」に注目します。
2. 比較する2つの三角形を決める。結論にある辺や角が、どの三角形に含まれるか探します。
3. 根拠のある等式を3つ集める。仮定、共通な辺、対頂角、平行線の錯角などを調べます。
4. 合同条件から合同を示す。対応順をそろえて記号≡で書きます。
5. 求められた結論まで書く。合同を示しただけで終わらず、対応する辺・角の性質を使います。

この例の結論は角の等しさです。最初から∠BAC＝∠DACを根拠として使うと、示したいことを先に認めてしまいます。保護者の方は「その等式は、問題文にある？ 何かの性質からわかる？」と確認すると、根拠の抜けを見つけやすくなります。

つまずき別｜家庭での教え方と戻るポイント

答えをすぐに教えるより、「今わかっていることを1つだけ言ってみよう」と区切って進めます。最初から証明全体を白紙に書かせず、④の穴埋め→理由だけを隠す→全文を書く、の順に負担を調整してください。

中2・11月数学｜4週間の家庭学習例

1回15〜20分、週3〜4回を目安にした例です。部活動や学校の課題量に応じて短くしてかまいません。枚数より、解き直したときに理由を説明できるかを確認します。

1回の流れは、前回の解き直し3分→例題・練習8〜12分→丸付けと理由の確認4〜5分。間違いは「用語」「角の計算」「対応順」「根拠」のどこで起きたか、一言メモにします。翌日や数日後に、答えを見ずに再挑戦しましょう。

学校の進度が違うときの調整例

まだ一次関数を学習中なら：1週目を変化の割合とグラフ、2週目を式の決定、3週目を交点、4週目を利用の問題に置き換えます。図形の証明を急いで先取りする必要はありません。

三角形と四角形へ進んでいるなら：平行と合同を短く復習し、学校で習った順に二等辺三角形の性質、直角三角形の合同条件、四角形の性質へ進みます。「三角形と四角形」のプリントも使えますが、範囲外の問題は飛ばしてかまいません。

期末テスト前なら：学校の範囲表とワークを優先し、仕上げに中2数学・2学期期末テスト予想問題を活用してください。一次関数や証明を含むため、習った範囲を選んで取り組みます。

理解を確かめる確認問題8問

ノートに計算や理由を書いて解いてみましょう。以下は本記事の学習内容を確認するためのオリジナル問題です。角度には°を付け、証明では等式の理由も書きます。

解答と解説

1. 72°、108°。平行線の同位角は等しいため72°です。隣り合う角との和は180°なので、180°−72°＝108°。
2. いえません。同位角は位置関係の名前です。2直線が平行であるなど、角が等しいといえる根拠が必要です。
3. 900°。1つの内角は、その条件だけでは求められません。180°×（7−2）＝900°。各内角が等しいとは限らないため、7で割った値がそれぞれの角になるわけではありません。
4. 外角30°、内角150°。360°÷12＝30°。内角は180°−30°＝150°です。
5. 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。△ABC≡△DEF。∠BACはABとACの間の角、∠EDFはDEとDFの間の角です。対応はA↔D、B↔E、C↔Fになります。
6. 頂点S、辺UT、∠UST。合同の表記順からP↔U、Q↔S、R↔Tです。∠PQRの頂点は中央のQなので、対応する角も中央をSにします。
7. 仮定：AB＝AD、BC＝DC。結論：∠BAC＝∠DAC。証明の最初から結論の角を等しいものとして使ってはいけません。本文の証明例で、共通な辺ACがどう使われるか確認しましょう。
8. 証明例：
   △AOCと△BODにおいて、
   仮定より、AO＝BO …①
   仮定より、CO＝DO …②
   対頂角は等しいので、∠AOC＝∠BOD …③
   ①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AOC≡△BOD。
   合同な図形の対応する辺は等しいので、AC＝BD。

問題1〜2で迷ったら①、3〜4は②、5〜6は合同条件の表と③、7〜8は証明例と④へ戻りましょう。間違えた理由を確認してから、同じ問題を自分の力で解き直すことが大切です。

中2・11月の数学でよくある質問

証明の文章は丸暗記したほうがよいですか？

「2つの三角形を挙げる→根拠を示す→合同条件→結論」という書き方の型は役立ちます。ただし、記号や根拠は問題によって変わります。文章を写した後に、「この等式はなぜいえるか」を1行ずつ確認してください。

2組の角と1組の辺が等しければ合同ですか？

対応する2組の角がそれぞれ等しければ、内角の和180°から残りの角も等しいとわかります。対応する1組の辺も等しい場合、必要に応じてその辺の両端の角をそろえ、合同条件につなげられます。答案では「1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と書ける根拠を示しましょう。

保護者が証明を教えるのが難しいときは？

すぐに別解を示す必要はありません。「問題文の条件を使っているか」「等しい理由が書かれているか」「合同条件と対応順が合っているか」「最後に結論まで書いたか」を、解答と一緒に確認してください。学校で習った表現を優先し、疑問が残る箇所は先生に確認しましょう。

この4枚だけで期末テスト対策は十分ですか？

4枚は基礎の確認とつまずきの発見に使う教材です。テスト範囲には一次関数の利用や、三角形・四角形の証明などが含まれる場合もあります。学校の範囲表を確認し、教科書・学校のワーク・関連教材で不足する内容を補ってください。

関連する無料プリント

• 中2数学「平行と合同」単元別プリント一覧
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11月の家庭学習では、学校で習った問題について、答えだけでなく根拠を一つずつ説明することを目指しましょう。角の計算、対応、合同条件、証明のうち、迷った段階に合う教材を選んで進めてください。