「二等辺三角形の角度は求められるけれど、証明になると手が止まる」「平行四辺形の性質と、平行四辺形になるための条件が混ざってしまう」。中学2年生の図形では、わかっていることを根拠にして、まだわからないことを順番に導く力が大切になります。

この記事では、中学2年生・12月の数学の家庭学習に向けて、三角形と四角形の性質、合同を使う証明、面積の考え方を整理します。実物画像で選べる無料プリント4選、つまずきに合わせた学習法、冬休みにつながる4週間の例、解説付き確認問題8問を紹介します。

中2・12月の数学は何を復習する？

最初に、学校のノートとテストの間違いを見て、「性質を忘れた」「図から条件を読み取れない」「理由を書けない」のどこで止まっているかを確かめます。証明を何枚も解く前に、必要な性質を1つずつ説明できる状態にしましょう。

まだ「平行と合同」を学んでいる場合は、中2・11月の数学の記事に戻り、平行線と角、三角形の合同条件、仮定と結論を復習するとつながりやすくなります。

三角形の性質｜図の向きではなく条件を見る

二等辺三角形の頂角・底角を区別する

二等辺三角形は、2辺の長さが等しい三角形です。等しい2辺にはさまれた角が頂角、その向かいの辺が底辺、底辺の両端の角が底角です。AB＝ACなら、底辺はBC、等しい底角は∠ABCと∠BCAになります。

図を横向きにしても性質は同じです。「上にあるから頂角」ではなく、等しい辺の印を2本たどって判断します。また、二等辺三角形では頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分します。証明では、底辺を2等分することと、垂直になることの両方を示す必要があります。

性質とその逆を、文章の向きで整理する

「2辺が等しいなら、その向かいの2つの角が等しい」が二等辺三角形の性質です。その逆の「2つの角が等しいなら、その向かいの2辺が等しい」も成り立ちます。ただし、すべてのことがらで逆が成り立つわけではありません。「正方形なら長方形である」の逆は成り立たず、縦2cm・横3cmの長方形が反例です。

直角三角形の合同条件は「直角」と「斜辺」を先に確認

斜辺は、直角の向かいにある辺です。2つの三角形がともに直角三角形であるとき、次のどちらかが成り立てば合同になります。

• 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。
• 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。

例えば∠ACB＝∠DFE＝90°なら、斜辺はABとDEです。AB＝DEに加えてAC＝DFがわかれば、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので△ABC≡△DEFといえます。証明には「∠ACB＝∠DFE＝90°」まで書き、直角三角形である根拠を示しましょう。

「直角が等しく、どこか1辺が等しい」だけでは不十分です。また、直角三角形でも、一般の三角形の合同条件を使って証明する場合があります。

平行四辺形｜性質と「なるための条件」を使い分ける

平行四辺形とわかっているときに使える性質

平行四辺形の定義は、2組の対辺がそれぞれ平行な四角形です。平行四辺形ABCDでは、AB∥CD、AD∥BC。ここから、次の性質が成り立ちます。

• 2組の対辺がそれぞれ等しい：AB＝CD、AD＝BC。
• 2組の対角がそれぞれ等しい：∠A＝∠C、∠B＝∠D。
• 対角線がそれぞれの中点で交わる：交点をOとするとAO＝CO、BO＝DO。

「対角線がそれぞれ半分になる」ことと「2本の対角線の長さが等しい」ことは別です。一般の平行四辺形では、AC＝BDとは限りません。

まだ平行四辺形とわかっていないときの判定条件

ある四角形が平行四辺形であることを示すには、次のいずれか1つを満たすと証明します。5つ全部を示す必要はありません。

1. 2組の対辺がそれぞれ平行である。
2. 2組の対辺がそれぞれ等しい。
3. 2組の対角がそれぞれ等しい。
4. 対角線がそれぞれの中点で交わる。
5. 1組の対辺が平行で、その長さが等しい。

長方形・ひし形・正方形の関係

3つとも平行四辺形の仲間なので、対角線がそれぞれの中点で交わる性質も持ちます。「対角線が等しいから長方形」と判定する場合は、その四角形が平行四辺形であることが前提です。一般の四角形に、そのまま当てはめないようにしましょう。

証明の書き方｜仮定から結論までの道筋を作る

1. 仮定と結論を分ける。与えられた条件を囲み、示したいことに下線を引きます。
2. 比べる三角形を選ぶ。示したい辺や角を含む2つの三角形を探します。
3. 等しい辺・角と理由を集める。仮定、共通な辺、平行線の錯角、対頂角などを整理します。
4. 合同条件を書いて、対応順に合同式を書く。頂点の対応を1つずつ確認します。
5. 結論まで書く。合同の後、対応する辺・角の等しさや平行四辺形の判定につなぎます。

例：平行四辺形の対角線がそれぞれの中点で交わることを証明

平行四辺形ABCDの対角線ACとBDの交点をOとします。すでに「対辺の長さが等しい」性質を学んだものとして、AO＝CO、BO＝DOを示します。ノートに平行四辺形と対角線を描き、△ABOと△CDOを色分けしてみましょう。

ここでAO＝COを最初から使うと、証明したい結論を根拠にしてしまいます。「図を見ると半分に見える」も理由にはできません。性質そのものを証明する問題では、その性質を証明の途中で使っていないかを見直しましょう。

平行線と面積｜「底辺と高さ」を言葉にする

同じ底辺を持ち、残りの頂点がその底辺と平行な直線上にある三角形は、高さが等しいので面積も等しくなります。形が細長くなっても、高さは斜めの辺ではなく、底辺を含む直線までの垂直な距離です。

三角形の面積を2等分する

△ABCでBCの中点をMとすると、△ABMと△ACMは底辺BMとCMが等しく、Aから直線BCまでの高さも共通です。したがって面積は等しくなります。頂点から、向かいの辺の中点へ引いた線分が面積を2等分します。点Bを通る指定なら、Bと辺ACの中点を結びます。

平行四辺形の面積を2等分する

平行四辺形は、対角線の交点を中心に180°回転すると重なります。その交点を通る直線で分けると両側の部分が重なるため、面積を2等分できます。対角線だけでなく、交点を通るさまざまな直線を引けます。

面積が等しいだけでは、形まで同じとは限りません。プリント中の「△ABM＝△ACM」は面積が等しいという意味です。合同を表す「≡」とは区別し、説明には「△ABMの面積＝△ACMの面積」と書くと明確です。

中2・12月の数学に使える無料プリント4選

画像を押すと問題PDFが開きます。教材名や「プリント・解答一覧へ」ボタンから紹介ページへ進むと、解答や同じ単元のほかのプリントを選べます。学校で習った範囲から、1回1枚を目安に取り組みましょう。

1｜頂角・底角と角度

二等辺三角形の性質（1）

等しい辺の印から頂角と底角を見つけ、角度を求める3問です。外角が与えられた図にも取り組めます。

使い方：問題・解答ともに2ページ目はフッターのみです。印刷範囲を1ページ目に指定してください。

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2｜合同を使う証明

二等辺三角形の性質（2）

頂角の二等分線が底辺を垂直に二等分することを、三角形の合同から証明する穴埋め問題です。

使い方：BD＝CDだけで終わらず、2つの角が等しく、和が180°だから各90°になるところまで説明しましょう。

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3｜錯角・共通な辺と証明

平行四辺形の性質（1）

平行四辺形の2組の対角が等しいことを証明します。対角線で分けた三角形を使い、錯角と共通な辺を整理できます。

使い方：証明したい「対角が等しい」を途中の理由に使わず、平行という定義から錯角の等しさを導きましょう。

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4｜面積を2等分する直線

平行線と面積（1）

三角形と平行四辺形の面積を2等分する直線を書き込む2問です。図を見ながら中点や対角線の交点を探します。

使い方：三角形の問題は点Bを通る指定なので、向かいの辺ACの中点と結びます。面積の等しさと合同は別です。

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掲載画像は実際の問題PDFから作成しています。面積が未習なら4枚目を後回しにし、1〜3枚目の解き直しに置き換えてください。

つまずき別の勉強法と声かけ

保護者が全文を教える必要はありません。「この等号の理由は？」「どの辺とどの辺が対応する？」と1か所ずつ聞き、本人が教科書や解答で確かめる時間を作ります。解答を写した後は一度閉じ、翌日に理由を言いながら解き直すと理解を確認できます。

12月の4週間と冬休みの家庭学習例

1回15〜20分、週3〜4回を目安にした例です。証明は1問に時間がかかっても構いません。量よりも、最後まで根拠を説明できたかを大切にします。

冬休みは、最初にテストやワークから間違えた問題を3〜5問選びます。図形だけでなく、一次関数の式・グラフや、連立方程式の計算も交互に復習しましょう。例えば「月曜は証明1問、水曜は計算3問、金曜は一次関数1問、週末は解き直し」とすると偏りを防げます。

理解を確かめる確認問題8問

図が必要な問題は、条件に合わせてノートに描いてください。まだ習っていない問題は飛ばして構いません。

確認問題の解答・解説

1. 72°。底角が等しいので、（180°−36°）÷2＝72°です。
2. AB＝AC。三角形の2つの角が等しければ、その向かいの2辺も等しいからです。∠ABCの向かいがAC、∠BCAの向かいがABです。
3. 合同といえます。ともに直角三角形で、斜辺ABとDE、他の1辺ACとDFがそれぞれ等しいためです。合同式は△ABC≡△DEFです。
4. AC＝8cm、BD＝6cm、∠B＝115°。対角線はそれぞれの中点で交わるので、AC＝4×2、BD＝3×2。隣り合う角の和は平行線の性質により180°なので、∠B＝180°−65°です。
5. ①だけ。同じ1組の対辺が平行で等しいからです。②は平行な辺の長さが違う二等辺台形でも成り立ち、必ず平行四辺形になるとはいえません。
6. 長方形といえますが、正方形とまではいえません。平行四辺形の対角線が等しければ長方形になります。しかし、隣り合う辺の長さが等しいとは限りません。
7. 15cm²。BM＝CMで、Aから直線BCまでの高さが共通なので、△ABMと△ACMの面積は等しくなります。30÷2＝15です。
8. 1辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABO≡△CDO。合同な三角形の対応する辺は等しいのでAO＝COです。A↔C、B↔D、O↔Oの対応も確認します。

次に使いたい関連教材・記事

• 中学2年生11月の数学｜平行線と角・合同・証明：証明の土台から戻って復習したいときに。
• 中2数学「平行と合同」プリント一覧：錯角・同位角や合同条件の確認に。
• 中2数学・2学期期末テスト予想問題：学校の範囲と合う問題を選んで総復習に。
• 中2数学「1次関数」プリント一覧：式とグラフ、文章題の解き直しに。
• 中2数学「連立方程式」プリント一覧：計算と利用の復習に。
• 中学2年生の数学プリント一覧｜ほかの単元から選ぶ
• 中学生の数学プリント一覧｜学年・単元から選ぶ
• 冬休みの家庭学習プリント一覧｜中学生の教材を探す

12月は、性質を覚えることに加えて「なぜ使えるのか」を説明する練習を重ねましょう。間違えた1問の理由を言い直せれば、冬休みの復習を次の学習につなげられます。